2018年高考文数真题试卷（全国Ⅲ卷）

试卷更新日期：2018-06-09 类型：高考真卷

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一、选择题

1. 已知集合 $A = {x | x - 1 \geq 0} ， B = {0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${1}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. $(1 + i) (2 - i)$ =（）

A、-3-i B、-3+i C、3-i D、3+i

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3. 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的突出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 若 $\sin α = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos 2 α$ =（）

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{7}{9}$ C、- $\frac{7}{9}$ D、- $\frac{8}{9}$

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5. 若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（）

A、0.3 B、0.4 C、0.6 D、0.7

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6. 函数 $f (x) = \frac{\tan x}{1 + \tan^{2} x}$ 的最小正周期为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、2 $π$

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7. 下列函数中，其图像与函数 $y = l n x$ 的图像关于直线 $x = 1$ 对称的是（）

A、 $y = l n (1 - x)$ B、 $y = l n (2 - x)$ C、 $y = l n (1 + x)$ D、 $y = l n (2 + x)$

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8. 直线 $x + y + 2 = 0$ 分别与 $x$ 轴， $y$ 轴交于点 $A ， B$ 两点，点 $P$ 在圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 2$ 上，则 $Δ A B P$ 面积的取值范围是（）

A、 $[2 ， 6]$ B、 $[4 ， 8]$ C、 $[\sqrt{2} ， 3 \sqrt{2}]$ D、 $[2 \sqrt{2} ， 3 \sqrt{2}]$

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9. 函数 $y = - x^{4} + x^{2} + 2$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，则点 $(4 ， 0)$ 到 $C$ 的渐近线的距离为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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11. $Δ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $Δ A B C$ 的面积为 $\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4}$ ，则 $C$ =（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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12. 设 $A ， B ， C ， D$ 是同一个半径为 $4$ 的球的球面上四点， $Δ A B C$ 为等边三角形且其面积为 $9 \sqrt{3}$ ，则三棱锥 $D - A B C$ 体积的最大值为（）

A、 $12 \sqrt{3}$ B、 $18 \sqrt{3}$ C、 $24 \sqrt{3}$ D、 $54 \sqrt{3}$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 2)$ ， $\vec{c} = (1 ， λ)$ ，若 $\vec{c} ∥ (2 \vec{a} + \vec{b})$ ，则 $λ =$ 。

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14. 某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是。

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15. 若变量 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{cases} 2 x + y + 3 \geq 0 \\ x - 2 y+ 4 \geq 0 \\ x - 2 \leq 0 \end{cases}$ ，则 $z = x + \frac{1}{3} y$ 的最大值是。

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16. 已知函数 $f (x) = \ln (\sqrt{1 + x^{2}} - x) + 1$ ， $f (a) = 4$ ，则 $f (- a) =$ 。

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三、解答题

17. 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1 ，$ $a_{5} = 4 a_{3}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若S_m=63，求m。

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18. 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项项目生产任务的两种新的生产方式，为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随即分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：

(1)、根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

(2)、求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：

超过m
不超过m
第一种生产方式

第二种生产方式

(3)、根据2中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，

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19. 如图，矩形 $A B C D$ 所在平面与半圆弧 $\overset{⌢}{C D}$ 所在平面垂直， $M$ 是 $\overset{⌢}{C D}$ 上异于 $C ， D$ 的点。

(1)、证明：平面 $A M D ⊥$ 平面 $B M C$

(2)、在线段 $A M$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $M C ∥$ 平面 $P B D$ ？说明理由

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20. 已知斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 交于 $A ， B$ 两点，线段 $A B$ 的中点为 $M (1 ， m) (m > 0)$

(1)、证明： $k < - \frac{1}{2}$

(2)、设 $F$ 为 $C$ 的右焦点， $P$ 为 $C$ 上一点，且 $\vec{F P} + \vec{F A} + \vec{F B} = 0$ ，证明： $2 | \vec{F P} | = | \vec{F A} | + | \vec{F B} |$

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{a x^{2} + x - 1}{e^{x}}$

(1)、求函数 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， - 1)$ 处的切线方程

(2)、证明：当 $a \geq 1$ 时， $f (x) + e \geq 0$

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四、选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]

22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $⊙ O$ 的参数方程为 ${\begin{cases} x = \cos θ \\ y = \sin θ \end{cases}$ ( $θ$ 为参数)，过点 $(0 ， - \sqrt{2})$ 且倾斜角为 $α$ 的直线 $l$ 与 $⊙ O$ 交于 $A ， B$ 两点

(1)、求 $a$ 的取值范围

(2)、求 $A B$ 中点 $P$ 的轨迹的参数方程

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五、选考题[选修4-5：不等式选讲]

23. 设函数 $f (x) = | 2 x + 1 | + | x - 1 |$

(1)、画出 $y = f (x)$ 的图像

(2)、当 $x \in [0 ， + \infty)$ 时， $f (x) \leq a x + b$ ，求 $a + b$ 的最小值。

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	超过m	不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式