2018年高考理数真题试卷（全国Ⅲ卷）

试卷更新日期：2018-06-09 类型：高考真卷

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一、选择题：

1. 已知集合 $A = {x | x - 1 \geq 0} ， B = {0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${1}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. $(1 + i) (2 - i)$ =（）

A、-3-i B、-3+i C、3-i D、3+i

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3. 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构建的突出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 若 $\sin α = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos 2 α$ =（）

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{7}{9}$ C、- $\frac{7}{9}$ D、- $\frac{8}{9}$

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5. ${(x^{2} + \frac{2}{x})}^{5}$ 的展开式中x⁴的系数为（）

A、10 B、20 C、40 D、80

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6. 直线 $x + y + 2 = 0$ 分别与 $x$ 轴， $y$ 轴交于点 $A ， B$ 两点，点 $P$ 在圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 2$ 上，则 $Δ A B P$ 面积的取值范围是（）

A、 $[2 ， 6]$ B、 $[4 ， 8]$ C、 $[\sqrt{2} ， 3 \sqrt{2}]$ D、 $[2 \sqrt{2} ， 3 \sqrt{2}]$

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7. 函数 $y = - x^{4} + x^{2} + 2$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 $p$ ，各成员的支付方式相互独立，设 $X$ 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， $D X = 2.4$ ， $P (X = 4) < P (X = 6)$ ，则 $p =$ （）

A、0.7 B、0.6 C、0.4 D、0.3

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9. $Δ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $Δ A B C$ 的面积为 $\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4}$ ，则 $C$ =（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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10. 设 $A ， B ， C ， D$ 是同一个半径为 $4$ 的球的球面上四点， $Δ A B C$ 为等边三角形且其面积为 $9 \sqrt{3}$ ，则三棱锥 $D - A B C$ 体积的最大值为（）

A、 $12 \sqrt{3}$ B、 $18 \sqrt{3}$ C、 $24 \sqrt{3}$ D、 $54 \sqrt{3}$

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11. 设 $F_{1} ， F_{2}$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0 ， b > 0$ ）的左，右焦点， $O$ 是坐标原点。过 $F_{2}$ 作C的一条渐近线的垂线，垂足为P。若 $| P F_{1} | = \sqrt{6} | O P |$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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12. 设 $a = \log_{0.2} 0.3$ ， $b = \log_{2} 0.3$ ，则（）

A、 $a + b < a b < 0$ B、 $a b < a + b < 0$ C、 $a + b < 0 < a b$ D、 $a b < 0 < a + b$

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二、填空题

13. 已知 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 2)$ ， $\vec{c} = (1 ， λ)$ ，若 $\vec{c} ∥ (2 \vec{a} + \vec{b})$ ，则 $λ =$ 。

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14. 曲线 $y = (a x + 1) e^{x}$ 在点 $(0 ， 1)$ 处的切线的斜率为 $- 2$ ，则 $a =$ ．

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15. 函数 $f (x) = \cos (3 x + \frac{π}{6})$ 在 $[0 ， π)$ 的零点个数为．

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16. 已知点 $M (- 1 ， 1)$ 和抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ ，过 $C$ 的焦点且斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点．若 $∠ A M B = 90 °$ ，则 $k =$ ．

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三、解答题

17. 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1 ， a_{5} = 4 a_{3}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若S_m=63，求m。

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18. 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成项目生产任务的两种新的生产方式，为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随即分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：

(1)、根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

(2)、求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：

超过m
不超过m
第一种生产方式

第二种生产方式

(3)、根据2中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，

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19. 如图，边长为2的正方形 $A B C D$ 所在平面与半圆弧 $\overset{⌢}{C D}$ 所在平面垂直， $M$ 是 $\overset{⌢}{C D}$ 上异于 $C ， D$ 的点。

(1)、证明：平面 $A M D ⊥$ 平面 $B M C$

(2)、当三棱锥M-ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值。

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20. 已知斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 交于 $A ， B$ 两点，线段 $A B$ 的中点为 $M (1 ， m) (m > 0)$

(1)、证明： $k < - \frac{1}{2}$

(2)、设 $F$ 为 $C$ 的右焦点， $P$ 为 $C$ 上一点，且 $\vec{F P} + \vec{F A} + \vec{F B} = 0$ ，证明： $| \vec{F A} | ， | \vec{F P} | ， | \vec{F B} |$ 成等差数列，并求该数列的公差。

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21. 已知函数 $f (x) = (2 + x + a x^{2}) \ln (1 + x) - 2 x$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，证明：当 $- 1 < x < 0$ 时， $f (x) < 0$ ；当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ ；

(2)、若 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极大值点，求a．

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四、选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]

22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $⊙ O$ 的参数方程为 ${\begin{cases} x = \cos θ \\ y = \sin θ \end{cases}$ ( $θ$ 为参数)，过点 $(0 ， - \sqrt{2})$ 且倾斜角为 $α$ 的直线 $l$ 与 $⊙ O$ 交于 $A ， B$ 两点

(1)、求 $a$ 的取值范围

(2)、求 $A B$ 中点 $P$ 的轨迹的参数方程

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五、选考题[选修4-5：不等式选讲]

23. 设函数 $f (x) = | 2 x + 1 | + | x - 1 |$

(1)、画出 $y = f (x)$ 的图像

(2)、当 $x \in [0 ， + \infty)$ 时， $f (x) \leq a x + b$ ，求 $a + b$ 的最小值。

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	超过m	不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式