湖北省荆州市2018届高三理数质量检查考试试卷（三）

试卷更新日期：2018-06-05 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 1 < x < 3}$ ， $B = {x | 2 x - 3 \geq 0}$ ，则 $A \cap^{} (C_{U} B) =$ （）

A、 $(- \infty ， \frac{3}{2})$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(1 ， \frac{3}{2})$ D、 $[\frac{3}{2} ， 3)$

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2. 若复数 $z = m^{2} - 1 + (m + 1) i$ 是纯虚数，其中 $m$ 是实数，则 $\frac{2}{z} =$ （）

A、 $i$ B、 $- i$ C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

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3. 下列命题正确的是（）

A、命题“ $p \land q$ ”为假命题，则命题 $p$ 与命题 $q$ 都是假命题； B、命题“若 $x = y$ ，则 $sin x = sin y$ ”的逆否命题为真命题； C、“ $a m^{2} < b m^{2}$ ”是“ $a < b$ ”成立的必要不充分条件； D、命题“存在 $x_{0} \in R$ ，使得 $x_{0}^{2} + x_{0} + 1 < 0$ ”的否定是：“对任意 $x \in R$ ，均有 $x^{2} + x + 1 < 0$ ”.

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4. 已知随机变量 $ξ \sim N (1 ， 1)$ ，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形 $O A B C$ 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）
注： $P (μ - σ < ξ < μ + σ) = 68.26 %$ ， $P (μ - 2 σ < ξ < μ + 2 σ) = 95.44 %$ .

A、6038 B、6587 C、7028 D、7539

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $5^{a_{n + 1}} = 25 \cdot 5^{a_{n}}$ ，且 $a_{2} + a_{4} + a_{6} = 9$ ，则 ${log}_{\frac{1}{3}} (a_{5} + a_{7} + a_{9}) =$ （）

A、-3 B、3 C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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6. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知“堑堵” $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有顶点都在球 $O$ 的球面上，且 $A B = A C = 1$ ，若球 $O$ 的表面积为 $3 π$ ，则这个三棱柱的体积是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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7. 偶函数 $f (x)$ 和奇函数 $g (x)$ 的图象如图所示，若关于 $x$ 的方程 $f (g (x)) = 1$ ， $g (f (x)) = 2$ 的实根个数分别为 $m$ 、 $n$ ，则 $m + n =$ （）

A、16 B、14 C、12 D、10

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8. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）

A、14 B、15 C、16 D、17

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9. 已知 $(1 + x) {(a - x)}^{6} = a_{0} + a_{1} x + \cdot \cdot \cdot + a_{7} x^{7}$ ，若 $a_{0} + a_{1} + \cdot \cdot \cdot + a_{7} = 0$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、-5 B、-20 C、15 D、35

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10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）

A、 $8 + 4 \sqrt{2}$ B、 $12 + 4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$ C、 $6 + 4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$ D、12

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11. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $O$ 为坐标原点，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆 $O$ 与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为 $P$ 、 $Q$ ，点 $B$ 为圆 $O$ 与 $y$ 轴正半轴的交点，若 $∠ P O F_{2} = ∠ Q O B$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $3 + \sqrt{5}$ B、 $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ C、 $1 + \sqrt{5}$ D、 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = e^{x} + x^{2} + ln x$ 与函数 $g (x) = e^{- x} + 2 x^{2} - a x$ 的图象上存在关于 $y$ 轴对称的点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - e]$ B、 $(- \infty ， - \frac{1}{e}]$ C、 $(- \infty ， - 1]$ D、 $(- \infty ， - \frac{1}{2}]$

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二、填空题

13. 平面向量 $\overset{⇀}{a} = (2 ， λ)$ ， $\overset{⇀}{b} = (- 3 ， 1)$ ，若向量 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 共线，则 $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} =$ ．

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14. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点与抛物线 $y^{2} = 16 x$ 的焦点相同，离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，则此椭圆的方程为．

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15. 已知 $x$ ， $y$ 满足不等式组 ${\begin{matrix} 2 y - x \geq 0 \\ x + y - 3 \leq 0 \\ 2 x - y + 3 \geq 0 \end{matrix}$ ，若不等式 $a x + y \leq 7$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是．

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16. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{0} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + \frac{a_{n}^{2}}{2018} (n = 0 ， 1 ， 2 \cdot \cdot \cdot)$ ，若使得 $a_{k} < 1 < a_{k + 1}$ ，则正整数 $k =$ ．

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三、解答题

17. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (\sqrt{2} sin 2 x ， \sqrt{2} cos 2 x)$ ， $\overset{⇀}{b} = (cos θ ， sin θ) (| θ | < \frac{π}{2})$ ，若 $f (x) = \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b}$ ，且函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称.
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的解析式，并求 $f (x)$ 的单调递减区间；
（Ⅱ）在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $f (A) = \sqrt{2}$ ，且 $b = 5$ ， $c = 2 \sqrt{3}$ ，求 $Δ A B C$ 外接圆的面积.

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18. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $A C = B C = A A_{1} = 2$ ，点 $P$ 为棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点，点 $Q$ 为线段 $A_{1} B$ 上一动点.
（Ⅰ）求证：当点 $Q$ 为线段 $A_{1} B$ 的中点时， $P Q ⊥$ 平面 $A_{1} B C$ ；
（Ⅱ）设 $\overset{⇀}{B Q} = λ \overset{⇀}{B A_{1}}$ ，试问：是否存在实数 $λ$ ，使得平面 $A_{1} P Q$ 与平面 $B_{1} P Q$ 所成锐二面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ ？若存在，求出这个实数 $λ$ ；若不存在，请说明理由.

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19. 手机 $Q Q$ 中的“ $Q Q$ 运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数.小明的 $Q Q$ 朋友圈里有大量好友参与了“ $Q Q$ 运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如下表所示：
$(0 ， 2500)$
$[2500 ， 5000)$
$[5000 ， 7500)$
$[7500 ， 10000)$
$[10000 ， + \infty)$
男
0
2
4
7
2
女
1
3
7
3
1
（Ⅰ）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明 $Q Q$ 朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数低于7500步的有 $X$ 名，求 $X$ 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）如果某人一天的走路步数超过7500步，此人将被“ $Q Q$ 运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”.根据题意完成下面的 $2 \times 2$ 列联表，并据此判断能否有 $95 %$ 以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？

积极型
消极型
总计
男

女

总计

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.025
0.01
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635

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20. 已知倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线经过抛物线 $Γ$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ ，与抛物线 $Γ$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $| A B | = 8$ .
（Ⅰ）求抛物线 $Γ$ 的方程；
（Ⅱ）过点 $P (12 ， 8)$ 的两条直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 分别交抛物线 $Γ$ 于点 $C$ 、 $D$ 和 $E$ 、 $F$ ，线段 $C D$ 和 $E F$ 的中点分别为 $M$ 、 $N$ .如果直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的倾斜角互余，求证：直线 $M N$ 经过一定点.

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21. 已知函数 $f (x) = a x - ln x$ .
（Ⅰ）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（Ⅱ）若 $a \in (- \infty ， - \frac{1}{e^{2}}]$ ，求证： $f (x) \geq 2 a x - x e^{a x - 1}$ .

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22. 在极坐标系中，已知圆 $C$ 的圆心为 $(2 \sqrt{2} ， \frac{π}{4})$ ，半径为 $2 \sqrt{2}$ .以极点为原点，极轴方向为 $x$ 轴正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \frac{1}{a} t + 3 \\ y = 1 - t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数， $a \in R$ 且 $a \neq 0$ ）.
（Ⅰ）写出圆 $C$ 的极坐标方程和直线 $l$ 的普通方程；
（Ⅱ）若直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，求 $| A B |$ 的最小值.

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23. 设不等式 $| | x + 1 | - | x - 1 | | < 2$ 的解集为 $A$ .
（Ⅰ）求集合 $A$ ；
（Ⅱ）若 $\forall m \in A$ ，不等式 $m x^{2} - 2 x + 1 - m < 0$ 恒成立，求实数 $x$ 的取值范围.

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	$(0 ， 2500)$	$[2500 ， 5000)$	$[5000 ， 7500)$	$[7500 ， 10000)$	$[10000 ， + \infty)$
男	0	2	4	7	2
女	1	3	7	3	1

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.01
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635

	积极型	消极型	总计
男
女
总计