黑龙江省齐齐哈尔市2018届高三理数第二次模拟考试试卷

试卷更新日期：2018-06-05 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | x < 1}$ ， $N = {x | x^{2} - x < 0}$ ，则（）

A、 $M \subseteq N$ B、 $N \subseteq M$ C、 $M \cap^{} N = {x | x < 1}$ D、 $M \cup^{} N = {x | x > 0}$

查看试题解析
2. 设 $(2 + i) (3 - x i) = 3 + (y + 5) i$ ( $i$ 为虚数单位），其中 $x ， y$ 是实数，则 $| x + y i |$ 等于（）

A、5 B、 $\sqrt{13}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、2

查看试题解析
3. 某高校调查了320名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了下图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是 $[17.5 ， 30]$ ，样本数据分组为 $[17.5 ， 20]$ ， $[20 ， 22.5]$ ， $[22.5 ， 25]$ ， $[25 ， 27.5]$ ， $[27.5 ， 30]$ .根据直方图，这320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是（）

A、68 B、72 C、76 D、80

查看试题解析
4. $(1 - \frac{1}{x^{2}}) {(1 + x)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为（）

A、15 B、 $- 15$ C、5 D、 $- 5$

查看试题解析
5. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b < 0)$ 是离心率为 $\sqrt{5}$ ，左焦点为 $F$ ，过点 $F$ 与 $x$ 轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点 $M$ ， $N$ ，若 $Δ O M N$ 的面积为20，其中 $O$ 是坐标原点，则该双曲线的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

查看试题解析
6. 某空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $4 + 2 π$ B、 $2 + 6 π$ C、 $4 + π$ D、 $2 + 4 π$

查看试题解析
7. 执行如下图的程序框图，若输入 $a$ 的值为2，则输出 $S$ 的值为（）

A、 $3.2$ B、 $3.6$ C、 $3.9$ D、 $4.9$

查看试题解析
8. 等比例数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公比为 $q$ ，若 $S_{6} = 9 S_{3} ， S_{5} = 62$ 则， $a_{1} =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、3

查看试题解析
9. 已知函数 $f (x) = cos (2 ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，将其图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后得函数 $g (x) = cos 2. x$ 的图象，则函数 $f (x)$ 的图象（）

A、关于直线 $x = \frac{2 π}{3}$ 对称 B、关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 C、关于点 $(- \frac{2 π}{3} ， 0)$ 对称 D、关于点 $(- \frac{5 π}{12} ， 0)$ 对称

查看试题解析
10. 已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的六个顶点都在球 $O$ 的球面上，球 $O$ 的表面积为 $194 π$ ， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C ， A B = 5 ， B C = 12 ， A C = 13$ ，则直线 $B C_{1}$ 与平面 $A B_{1} C_{1}$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{3}}{52}$ B、 $\frac{7 \sqrt{3}}{52}$ C、 $\frac{5 \sqrt{2}}{26}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{26}$

查看试题解析
11. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （ a > b > 0)$ 的短轴长为2，上顶点为 $A$ ，左顶点为 $B$ ， $F_{1} ， F_{2}$ 分别是椭圆的左、右焦点，且 $Δ F_{1} A B$ 的面积为 $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ ，点 $P$ 为椭圆上的任意一点，则 $\frac{1}{| P F_{1} |} + \frac{1}{| P F_{2} |}$ 的取值范围为（）

A、 $[1 ， 2]$ B、 $[\sqrt{2} ， \sqrt{3}]$ C、 $[\sqrt{2} ， 4]$ D、 $[1 ， 4]$

查看试题解析
12. 已知对任意 $x \in [\frac{1}{e} ， e^{2}]$ 不等式 $e^{\frac{x}{a}} > x^{2}$ 恒成立（其中 $e = 2.71828...$ ，是自然对数的底数），则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{e}{2})$ B、 $（ 0 ， e ）$ C、 $(- \infty ， - 2 e)$ D、 $(- \infty ， \frac{4}{e^{2}})$

查看试题解析

二、填空题

13. 已知实数 $x ， y$ 满足条件 ${\begin{matrix} x + y - 4 \leq 0 ， \\ x - 2 y + 2 \geq 0 ， \\ x \geq 0 ， y \geq 0 ， \end{matrix}$ 若 $z = a x + y$ 的最小值为 $- 8$ ，则实数 $a =$ ．

查看试题解析
14. 若函数 $f (x)$ 是偶函数 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 1 g (x + 1)$ ，则满足 $f (2 x + 1) < 1$ 的实数 $x$ 取值范围是．

查看试题解析
15. 已知平行四边形 $A B C D$ 中， $A D = 2$ ， $∠ B A D = 120^{\circ}$ ，点 $E$ 是 $C D$ 中点， $\overset{⇀}{A E} • \overset{⇀}{B D} = 1$ ，则 $\overset{⇀}{B D} • \overset{⇀}{B E} =$ ．

查看试题解析
16. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} = 4$ ， $S_{4} = 30$ ， $n \geq 2$ 时， $a_{n + 1} + a_{n - 1} = 2 (a_{n} + 1)$ ，则 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} =$ ．

查看试题解析

三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中 $a 、 b 、 c$ 分别为角 $A 、 B 、 C$ 所对的边，已知 $\frac{sin B}{2 sin A - sin C} = \frac{1}{2 cos C^{*}}$
(I)求角 $B$ 的大小；
(Ⅱ)若 $a = 1 ， b = \sqrt{7}$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

查看试题解析
18. 在四棱锥 $A - D B C E$ 中，底面 $D B C E$ 是等腰梯形， $B C = 2 D E$ ， $B D = D E = C E ， Δ A D E$ 是等边三角形，点 $F$ 在 $A C$ 上.且 $A C = 3 A F$ .
（I）证明： $A D / /$ 平面 $B E F$ ；
(Ⅱ)若平面 $A D E$ ⊥平面 $B C E D$ ，求二面角 $A - B E - F$ 的余弦值.

查看试题解析
19. 近年来，随着科学技术迅猛发展，国内有实力的企业纷纷进行海外布局，如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外设多个分支机构需要国内公司外派大量80后、90后中青年员工.该企业为了解这两个年龄层员工对是否愿意接受外派工作的态度随机调查了100位员工，得到数据如下表：

愿意接受外派人数
不愿意接受外派人数
合计
80后
20
20
40
90后
40
20
60
合计
60
40
100
(Ⅰ)根据调查的数据，判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“是否愿意接受外派与年龄层有关”，并说明理由；
(Ⅱ)该公司选派12人参观驻海外分支机构的交流体验活动，在参与调查的80后员工中用分层抽样方法抽出6名，组成80后组，在参与调查的90后员工中，也用分层抽样方法抽出6名，组成90后组
①求这12 人中，80后组90后组愿意接受外派的人数各有多少?
②为方便交流，在80后组、90后组中各选出3人进行交流，记在80后组中选到愿意接受外派的人数为 $x$ ，在90 后组中选到愿意接受外派的人数为 $y$ ，求 $x < y$ 的概率.
参考数据：
$p (k^{2} \geq k_{0})$
$0.15$
$0.10$
$0.05$
$0.025$
$0.010$
$0.005$
$k_{0}$
$2.072$
$2.706$
$3.841$
$5.024$
$6.635$
$7.879$
参考公式： $K^{2} = \frac{n (a d - b c ）^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$

查看试题解析
20. 设抛物线的顶点为坐标原点，焦点 $F$ 在 $y$ 轴的正半轴上，点 $A$ 是抛物线上的一点，以 $A$ 为圆心，2为半径的圆与 $y$ 轴相切，切点为 $F$ .
(I)求抛物线的标准方程：
(Ⅱ)设直线 $m$ 在 $y$ 轴上的截距为6，且与抛物线交于 $P$ ， $Q$ 两点，连接 $Q F$ 并延长交抛物线的准线于点 $R$ ，当直线 $P R$ 恰与抛物线相切时，求直线 $m$ 的方程.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = k 1 n x - \frac{x - 1}{x}$ ，且曲线 $y = f (x)$ 在点 $（ 1 ， f (1))$ 处的切线与 $y$ 轴垂直.
(I)求函数 $f (x)$ 的单调区间；
(Ⅱ)若对任意 $x \in (0 ， 1) \cup^{} (1 ， e)$ (其中 $e$ 为自然对数的底数)，都有 $\frac{f (x)}{x - 1} + \frac{1}{x} > \frac{1}{a} (a > 0)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

查看试题解析
22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ =sin θ + cos θ$ ，点 $P$ 的曲线 $C$ 上运动.
(I)若点 $Q$ 在射线 $O P$ 上，且 $| O P | • | O Q | = 4$ ，求点 $Q$ 的轨迹的直角坐标方程；
(Ⅱ)设 $M (4 ， \frac{3 π}{4})$ ，求 $Δ M O P$ 面积的最大值.

查看试题解析
23. 设 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $a^{2} b + a b^{2} = 2$ ，求证：
（Ⅰ） $a^{3} + b^{3} \geq 2$ ；
（Ⅱ） $(a + b) (a^{5} + b^{5}) \geq 4$

查看试题解析

	愿意接受外派人数	不愿意接受外派人数	合计
80后	20	20	40
90后	40	20	60
合计	60	40	100

$p (k^{2} \geq k_{0})$	$0.15$	$0.10$	$0.05$	$0.025$	$0.010$	$0.005$
$k_{0}$	$2.072$	$2.706$	$3.841$	$5.024$	$6.635$	$7.879$