广东省佛山市普通高中2018届高三文数教学质量检测试卷（二）

试卷更新日期：2018-06-05 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，}$ ，若 $A = {0 ， 2 ， 3}$ ， $B = {2 ， 3 ， 4}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap^{} (∁_{U} B) =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${1}$ C、 ${0 ， 2}$ D、 ${1 ， 4}$

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2. 若复数 $z$ 满足 $(z - i) (z + i) = 3$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、3

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3. 已知函数 $f (x) = 3^{x} - 3^{- x} . \forall a ， b \in R$ ，则“ $a > b$ ”是“ $f (a) > f (b)$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 设 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y + 3 \geq 0 \\ x + y - 1 \geq 0 \\ x \leq 3 \end{matrix}$ ，则 $z = 2 x - y$ 的最小值为（）

A、4 B、0 C、2 D、-4

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5. 若抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点在直线 $x + 2 y - 2 = 0$ 上，则 $p$ 等于（）

A、4 B、0 C、-4 D、-6

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6. 某同学用收集到的 6 组数据对 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6)$ 制作成如图所示的散点图(点旁的数据为该点坐标)，并由最小二乘法计算得到回归直线 $l$ 的方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，相关系数为 $r$ .
现给出以下3个结论：
① $r > 0$ ； ②直线 $l$ 恰好过点 $D$ ； ③ $\hat{b} > 1$ ；其中正确结论是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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7. 执行如图所示的程序框图，当输出的 $S = 2$ 时，则输入的 $S$ 的值为（）

A、-2 B、-1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 如图是一种螺栓的简易三视图，其螺帽俯视图是一个正六边形，则由三视图尺寸，该螺栓的表面积为（）

A、 $15 \sqrt{3} + 12 π$ B、 $9 \sqrt{3} + 12 + 12 π$ C、 $12 \sqrt{3} + 12 + 12 π$ D、 $12 \sqrt{3} + 12 + 11 π$

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9. 甲乙丙丁四个人背后各有 1个号码，赵同学说：甲是2号，乙是3号；钱同学说：丙是2号，乙是4号；孙同学说：丁是2号，丙是3号；李同学说：丁是1号，乙是3号．他们每人都说对了一半，则丙是（）

A、1号 B、2号 C、3号 D、4号

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10. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左焦点为 $F$ ，右顶点为 $A$ ，虚轴的一个端点为 $B$ ，若 $△ A B F$ 为等腰三角形，则该双曲线的离心率为（）

A、 $1 + \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的图象在区间 $(1 ， 2)$ 上不单调，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{3 π}{8} ， + \infty)$ B、 $(\frac{3 π}{8} ， \frac{3 π}{4}) \cup^{} (\frac{7 π}{8} ， + \infty)$ C、 $(\frac{3 π}{8} ， \frac{7 π}{8}) \cup^{} (\frac{7 π}{4} ， + \infty)$ D、 $(\frac{3 π}{4} ， + \infty)$

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12. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c ， g (x) = | f (x) |$ ，曲线 $C ： y = g (x)$ 关于直线 $x = 1$ 对称，现给出如结论：①若 $c > 0$ ，则存在 $x_{0} < 0$ ，使 $f (x_{0}) = 0$ ；②若 $c < - 1$ ，则不等式 $g (x + 1) > g (x)$ 的解集为 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ ；③若 $- 1 < c < 0$ ，且 $y = k x$ 是曲线 $C ： y = g (x) (x < 0)$ 的一条切线，则 $k$ 的取值范围是 $(- \frac{27}{4} ， - 2)$ .其中正确结论的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

13. 曲线 $y = x^{2} + l n x$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为．

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14. 若 $\sin (α - \frac{π}{4}) = \frac{7 \sqrt{2}}{10} ， α \in (0 ， π)$ ，则 $\tan α =$ ．

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15. 直角 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 ° ， B C = 2 ， A B = 1 ， D$ 为 $B C$ 中点， $E$ 在斜边 $A C$ 上，若 $\vec{A E} = 2 \vec{E C}$ ，则 $\vec{D E} \cdot \vec{A C} =$ ．

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16. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 3 a_{2} + \dots + (2 n - 1) a_{n} = 3 - \frac{2 n + 3}{2^{n}} ， n \in N^{*}$ .则 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} =$ ．

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三、解答题

17. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $AB = \sqrt{2} ， B C = \sqrt{3} ， A B ⊥ A D ， A C ⊥ C D$ .
(Ⅰ)若 $\sin ∠ B A C = \frac{1}{4}$ ，求 $\sin ∠ B C A$ ；
(Ⅱ)若 $A D = 3 A C$ ，求 $A C$ .

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18. 如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 是梯形， $A D / / B C ， ∠ B A D = 90 °$ ， $C F ⊥$ 平面 $A B C D$ ，平面 $A D E$ ⊥平面 $A B C D$ .
(Ⅰ)求证： $B F / /$ 平面 $A D E$ ；
(Ⅱ)若 $△ A D E$ 是等边三角形， $A D = 4 ， A B = C F = \sqrt{3} ， B C = 1$ ，求多面体 $A B C D E F$ 的体积.

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19. 从某企业生产的产品的生产线上随机抽取件产品，测量这批产品的一项质量指标值，由测量结果得如图所示的频率分布直方图：
(Ⅰ) 估计这批产品质量指标值的样本平均数 $\vec{x}$ 和样本方差 $s^{2}$ (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(Ⅱ) 若该种产品的等级及相应等级产品的利润(每件)参照以下规则(其中 $Z$ 为产品质量指标值)：
当 $Z \in (\bar{x} - s ， \bar{x} + s)$ ，该产品定为一等品，企业可获利 200 元；
当 $Z \in (\bar{x} - 2 s ， \bar{x} + 2 s)$ 且 $Z \notin (\bar{x} - s ， \bar{x} + s)$ ，该产品定为二等品，企业可获利 100 元；
当 $Z \in (\bar{x} - 3 s ， \bar{x} + 3 s)$ 且 $Z \notin (\bar{x} - 2 s ， \bar{x} + 2 s)$ ，该产品定为三等品，企业将损失 500 元；
否则该产品定为不合格品，企业将损失 1000 元．
(ⅰ)若测得一箱产品(5 件)的质量指标数据分别为：76、85、93、105、112，求该箱产品的利润；
(ⅱ)设事件 $A ： Z \in (\bar{x} - s ， \bar{x} + s)$ ；事件 $B ： Z \in (\bar{x} - 2 s ， \bar{x} + 2 s)$ ；事件 $C ： Z \in (\bar{x} - 3 s ， \bar{x} + 3 s)$ . 根据经验，对于该生产线上的产品，事件 $A ，、 B 、 C$ 发生的概率分别为0.6826、0.9544、0.9974.根据以上信息，若产品预计年产量为10000件，试估计该产品年获利情况.(参考数据： $\sqrt{26} \approx 5.10$ )

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20. 已知直线 $l$ 过点 $P (2 ， 0)$ ，且与抛物线 $T ： y^{2} = 4 x$ 相交于 $A ， B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，其中点 $A$ 在第四象限， $O$ 为坐标原点.
(Ⅰ)当 $A$ 是 $P C$ 中点时，求直线 $l$ 的方程；
(Ⅱ)以 $A B$ 为直径的圆交直线 $O B$ 于点 $D$ ，求 $| O B | \cdot | O D |$ 的值.

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21. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = x (e^{x} - 2 a) - a x^{2}$ .
(Ⅰ)若 $f (x)$ 有极小值且极小值为0 ，求 $a$ 的值；
(Ⅱ)当 $x \in R$ 时， $f (2 x) \geq 2 f (x)$ ，求 $a$ 的取值范围.

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22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = a + \sqrt{3} \cos t \\ y = \sqrt{3} \sin t \end{matrix} (t$ 为参数， $a > 0$ ).以坐标原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $C_{1}$ 上一点 $A$ 的极坐标为 $(1 ， \frac{π}{3})$ ，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = \cos θ$ .
(Ⅰ)求曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程；
(Ⅱ)设点 $M ， N$ 在 $C_{1}$ 上，点 $P$ 在 $C_{2}$ 上（异于极点），若 $O ， M ， P ， N$ 四点依次在同一条直线 $l$ 上，且 $| M P | ， | O P | ， | P N |$ 成等比数列，求 $l$ 的极坐标方程.

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23. 设函数 $f (x) = | x + a | ， a > 0$ .
(Ⅰ)当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) < x^{2}$ 的解集；
(Ⅱ)若函数 $g (x) = f (x) + f (1 - x)$ 的图象与直线 $y = 11$ 所围成的四边形面积大于20，求 $a$ 的取值范围.

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