2015-2016学年浙江省舟山市高一上学期期末数学试卷

试卷更新日期：2017-01-04 类型：期末考试

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一、选择题

1. 直线 $\sqrt{3}$ x﹣y+a=0（a∈R）的倾斜角为（）

A、30° B、60° C、150° D、120°

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2. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的方程是（）

A、y²=﹣8x B、y²=8x C、y²=﹣4x D、y²=4x

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3. 若四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，则它的体积为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{5}$

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4. 若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（）

A、α内的所有直线都与a异面 B、α内的直线都与a相交 C、α内不存在与a平行的直线 D、直线a与平面α有公共点

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5. 若圆x²+y²=r²（r＞0）上仅有4个点到直线x﹣y﹣2=0的距离为1，则实数r的取值范围是（）

A、 $(0 ， \sqrt{2} - 1)$ B、 $(\sqrt{2} - 1 ， \sqrt{2} + 1)$ C、 $(\sqrt{2} + 1 ， + \infty)$ D、 $(0 ， \sqrt{2} + 1)$

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6. 把一副三角板ABC与ABD摆成如图所示的直二面角D﹣AB﹣C，（其中BD=2AD，BC=AC）则异面直线DC，AB所成角的正切值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$

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7. 与圆x²+y²+8x+15=0及圆x²+y²﹣8x+12=0都外切的圆的圆心在（）

A、一个椭圆上 B、一条抛物线上 C、双曲线的一支上 D、一个圆上

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8. 如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC₁上，直线OP与平面A₁BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）

A、[ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，1] B、[ $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，1] C、[ $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ， $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ] D、[ $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，1]

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9. 椭圆C： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右顶点分别为A₁、A₂ ，点P在C上且直线PA₂斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA₁斜率的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}]$ B、 $[\frac{3}{8}, \frac{3}{4}]$ C、 $[\frac{1}{2}, 1]$ D、 $[\frac{3}{4}, 1]$

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10. 如图，正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点A在平面α内，点E是底面ABCD的中心．若C₁E⊥平面α，则△C₁AB在平面α内的射影的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{12}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{12}$

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二、填空题

11. 直线l₁：2x+y+2=0，l₂：ax+4y﹣2=0，且l₁∥l₂ ，则a= ．

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12. 双曲线C：y²﹣x²=m（m＞0）的渐近线方程为

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13. 如图：在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥面ABC，SA=1，△ABC是边长为2的等边三角形，则二面角S﹣BC﹣A的大小为．

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14. 椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为F₁ ，上顶点为B₂ ，右顶点为A₂ ，过点A₂作x轴的垂线交直线F₁B₂于点P，若|PA₂|=3b，则椭圆的离心率为．

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15. 正三棱锥V﹣ABC的底面边长为2，E，F，G，H分别是VA，VB，BC，AC的中点，则四边形EFGH的面积的取值范围是

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16. 已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为 $\sqrt{3}$ 的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为．

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17. 给定圆P：x²+y²=2x及抛物线S：y²=4x，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自上而下顺次为A，B，C，D；如果线段AB，BC，CD的长度按此顺序构成一个等差数列，则直线l的方程为

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三、解答题

18. 已知直线l经过两条直线l₁：3x+4y﹣2=0与l₂：2x+y+2=0的交点P．

(1)、求垂直于直线l₃：x﹣2y﹣1=0的直线l的方程；

(2)、求与坐标轴相交于两点，且以P为中点的直线方程．

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19. 如图，M，N，K分别是正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱AB，CD，C₁D₁的中点．

(1)、求证：AN∥平面A₁MK；

(2)、求证：平面A₁B₁C⊥平面A₁MK．

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20. 如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，点M在边DC上，点F在边AB上，且DF⊥AM，垂足为E，若将△ADM沿AM折起，使点D位于D′位置，连接D′B，D′C得四棱锥D′﹣ABCM．

(1)、求证：AM⊥D′F；

(2)、若∠D′EF= $\frac{π}{3}$ ，直线D'F与平面ABCM所成角的大小为 $\frac{π}{3}$ ，求直线AD′与平面ABCM所成角的正弦值．

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21. 已知抛物线E：y²=2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过点K作圆C：（x﹣2）²+y²=1的两条切线，切点为M，N，|MN|= $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$

(1)、求抛物线E的方程

(2)、设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ = $\frac{9}{4}$ （其中O为坐标原点）
①求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标
②过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值．

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