2015-2016学年浙江省绍兴市嵊州市高三上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-01-04 类型：期末考试

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一、选择题

1. 设集合S={x|x＞1}，T={x||x﹣1|≤2}，则（∁_RS）∪T（）

A、（﹣∞，3] B、[﹣1，1] C、[﹣1，3] D、[﹣1，+∞）

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2. 若命题“∃x₀∈R使得 $x_{0}^{2} + a x_{0} + a + 3 < 0$ ”为假命题，则实数a的取值范围是（）

A、[﹣6，2] B、[﹣6，﹣2] C、[﹣2，6] D、 $[2 - \sqrt{7} ， 2 + \sqrt{7}]$

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3. 已知函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）的图象与函数 $g (x) = \sqrt{2} \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象关于y轴对称，则φ的值可以为（）

A、 $- \frac{7 π}{12}$ B、 $- \frac{5 π}{12}$ C、 $\frac{5 π}{12}$ D、 $\frac{7 π}{12}$

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4. 已知不等式组 ${\begin{matrix} 2 x - y + 3 \geq 0 \\ x \leq 1 \\ x - 2 y \leq 0 \end{matrix}$ 表示的平面区域为D，若函数y=|x|+m的图象上存在区域D上的点，则实数m的最小值为（）

A、﹣4 B、﹣3 C、﹣1 D、 $- \frac{1}{2}$

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5. 设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，1]时f（x）=1+log₂x．若对任意的x∈R都有f（x）=f（x+4），则f（2014）+f（2016）﹣2f（2015）=（）

A、﹣2 B、﹣1 C、1 D、2

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6. 已知点P在以F₁ ， F₂为焦点的双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）上，过P作y轴的垂线，垂足为Q，若四边形F₁F₂PQ为菱形，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ C、1 $+ \sqrt{2}$ D、1+ $\sqrt{3}$

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7. 已知x，y，z是非零实数，定义运算“⊕”满足：（1）x⊕x=1；（2）x⊕（y⊕z）=（x⊕y）z．
命题①：x⊕1=x；命题②：x²⊕x=x．（）

A、命题①和命题②都成立 B、命题①和命题②都不成立 C、命题①成立，命题②不成立 D、命题①不成立，命题②成立

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8. 如图，四边形ABCD与ABEF均为矩形，BC=BE=2AB，二面角E﹣AB﹣C的大小为 $\frac{π}{3}$ ．现将△ACD绕着AC旋转一周，则在旋转过程中，（）

A、不存在某个位置，使得直线AD与BE所成的角为 $\frac{π}{4}$ B、存在某个位置，使得直线AD与BE所成的角为 $\frac{π}{2}$ C、不存在某个位置，使得直线AD与平面ABEF所成的角为 $\frac{π}{4}$ D、存在某个位置，使得直线AD与平面ABEF所成的角为 $\frac{π}{2}$

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二、填空题

9. 已知 $\cos 2 α = \frac{1}{3} (\cos α + \sin α)$ ，则cosα﹣sinα= ， sin2α= ．

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10. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为，最长棱的棱长为．

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} - 1 ， x \leq 0 \\ x - 1 ， x > 0 \end{matrix}$ ，g（x）=2^x﹣1，则f（g（2））= ， f[g（x）]的值域为．

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12. 已知数列{a_n}是首项为15的等比数列，其前n项的和为S_n ，若S₃ ， S₅ ， S₄成等差数列，则公比q= ，当{a_n}的前n项的积达到最大时n的值为．

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13. 如图，设抛物线x²=4y的焦点为F，其准线与y轴相交于点Q，设P为抛物线上的一点，若 $| P Q | = \sqrt{2} | P F |$ ，则△PQF的面积为．

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14. 已知a为实数，函数f（x）=x²﹣|x²﹣ax﹣2|在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递增，则a的取值范围为．

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15. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，设向量 $\vec{c}$ =x $\vec{a}$ +y $\vec{b}$ ，x，y∈R，若| $\vec{c}$ ﹣ $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ |=1，则x+2y的最大值为．

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三、解答题

16. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知acosB﹣c= $\frac{b}{a}$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若b﹣c= $\sqrt{6}$ ，a=3+ $\sqrt{3}$ ，求BC边上的高．

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17. 如图，在三棱锥A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，CB=CD，AD=DB，P，Q分别在线段AB，AC上，AP=3PB，AQ=2QC，M是BD的中点．

(1)、证明：DQ∥平面CPM；

(2)、若二面角C﹣AB﹣D的大小为 $\frac{π}{3}$ ，求∠BDC的正切值．

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18. 已知函数f（x）=ax²﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1．

(1)、求a，b的值；

(2)、设 $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ ，若关于x的方程 $g (| 2^{x} - 1 |) + k (\frac{2}{2^{x} - 1} - 3) = 0$ 在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．

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19. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，直线l：x+y﹣1=0与C相交于A，B两点．

(1)、证明：线段AB的中点为定点，并求出该定点坐标；

(2)、设M（1，0）， $\vec{M A} = λ \vec{B M}$ ，当 $a \in (\frac{\sqrt{7}}{2} ， \sqrt{3})$ 时，求实数λ的取值范围．

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20. 已知数列{a_n}的首项为a₁=1，且 $a_{n + 1} = \frac{a_{n} + 4}{a_{n} + 1}$ ，（n∈N^*）．

(1)、求a₂ ， a₃的值，并证明：a_2n_﹣₁＜a_2n₊₁＜2；

(2)、令b_n=|a_2n_﹣₁﹣2|，S_n=b₁+b₂+…+b_n ．证明： $\frac{9}{8} [1 - {(\frac{1}{9})}^{n}] \leq S_{n} < \frac{7}{6}$ ．

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