上海市虹口区2018届高三下学期数学教学质量监控二模试卷

试卷更新日期：2018-06-05 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 下列函数是奇函数的是（）

A、 $f (x) = x + 1$ B、 $f (x) = sin x \cdot cos x$ C、 $f (x) = arccos x$ D、 $f (x) = {\begin{matrix} \begin{matrix} x & x > 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - x & x < 0 \end{matrix} \end{matrix}$

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2. 在 $R t Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $M$ 、 $N$ 是线段 $A C$ 的三等分点，点 $P$ 在线段 $B C$ 上运动且满足 $\vec{P C} = k \cdot \vec{B C}$ ，当 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 取得最小值时，实数 $k$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{8}$

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3. 直线 $l ： k x - y + k + 1 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 8$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $| A B | = 4 \sqrt{2}$ ，过点 $A$ ， $B$ 分别作 $l$ 的垂线与 $y$ 轴交于点 $M$ ， $N$ ，则 $| M N |$ 等于（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、 $4 \sqrt{2}$ D、8

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = a$ ，且 $0 < a \leq 4$ ， $a_{n + 1} = {\begin{matrix} \begin{matrix} a_{n} - 4 & a_{n} > 4 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 6 - a_{n} & a_{n} \leq 4 \end{matrix} \end{matrix}$ ， $S_{n}$ 是此数列的前 $n$ 项和，则以下结论正确的是（）

A、不存在 $a$ 和 $n$ 使得 $S_{n} = 2015$ B、不存在 $a$ 和 $n$ 使得 $S_{n} = 2016$ C、不存在 $a$ 和 $n$ 使得 $S_{n} = 2017$ D、不存在 $a$ 和 $n$ 使得 $S_{n} = 2018$

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二、填空题

5. 已知 $A = (- \infty ， a]$ ， $B = [1 ， 2]$ ，且 $A \cap^{} B \neq ϕ$ ，则实数 $a$ 的范围是．

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6. 直线 $a x + (a - 1) y + 1 = 0$ 与直线 $4 x + a y - 2 = 0$ 互相平行，则实数 $a =$ ．

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7. 已知 $α \in (0 ， π)$ ， $cos α = - \frac{3}{5}$ ，则 $tan (α + \frac{π}{4}) =$ ．

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8. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，则 ${cos}^{2} α + {cos}^{2} β + {cos}^{2} γ =$ ．

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} \begin{matrix} - x^{2} & x \geq 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2^{- x} - 1 & x < 0 \end{matrix} \end{matrix}$ ，则 $f^{- 1} [f^{- 1} (- 9)] =$ ．

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10. 从集合 ${\begin{matrix} - 1 ， & 1 ， & 2 ， & 3 \end{matrix}}$ 随机取一个为 $m$ ，从集合 ${\begin{matrix} - 2 ， & - 1 ， & 1 ， & 2 \end{matrix}}$ 随机取一个为 $n$ ，则方程 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{n} = 1$ 表示双曲线的概率为．

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公比为q的等比数列，且 $a_{2} ， a_{4} ， a_{3}$ 成等差数列，则q=

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12. 若将函数 $f (x) = x^{6}$ 表示成 $f (x) = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + a_{3} {(x - 1)}^{3} + \dots + a_{6} {(x - 1)}^{6}$ 则 $a_{3}$ 的值等于．

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13. 如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的边长 $A B = A A_{1} = 1$ ， $A D = \sqrt{2}$ ，它的外接球是球 $O$ ，则 $A$ ， $A_{1}$ 这两点的球面距离等于．

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14. 椭圆的长轴长等于 $m$ ，短轴长等于 $n$ ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为.

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15. $[x]$ 是不超过 $x$ 的最大整数，则方程 ${(2^{x})}^{2} - \frac{7}{4} \cdot [2^{x}] - \frac{1}{4} = 0$ 满足 $x < 1$ 的所有实数解是．

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16. 函数 $f (x) = sin x$ ，对于 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < \dots < x_{n}$ 且 $x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{n} \in [\begin{matrix} 0 ， & 8 π \end{matrix}]$ （ $n \geq 10$ ），记 $M = | f (x_{1}) - f (x_{2}) | + | f (x_{2}) - f (x_{3}) | + | f (x_{3}) - f (x_{4}) | + \dots + | f (x_{n - 1}) - f (x_{n}) |$ ，则 $M$ 的最大值等于．

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三、解答题

17. 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形， $A B = A C = 1$ ， $∠ B A C = \frac{π}{2}$ ，高等于3，点 $M_{1}$ ， $M_{2}$ ， $N_{1}$ ， $N_{2}$ 为所在线段的三等分点．

(1)、求此三棱柱的体积和三棱锥 $A_{1} - A M_{1} N_{2}$ 的体积；

(2)、求异面直线 $A_{1} N_{2}$ ， $A M_{1}$ 所成的角的大小．

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18. 已知 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对应的边分别为 $a ， b ， c$ ， $z = cos A + i \cdot sin A$ （ $i$ 是虚数单位）是方程 $z^{2} - z + 1 = 0$ 的根， $a = 3$ .

(1)、若 $B = \frac{π}{4}$ ，求边长 $c$ 的值；

(2)、求 $Δ A B C$ 面积的最大值.

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19. 平面内的“向量列” ${\overset{⇀}{a_{n}}}$ ，如果对于任意的正整数 $n$ ，均有 $\overset{⇀}{a_{n + 1}} - \overset{⇀}{a_{n}} = \overset{⇀}{d}$ ，则称此“向量列”为“等差向量列”， $\overset{⇀}{d}$ 称为“公差向量”.平面内的“向量列” ${\overset{⇀}{b_{n}}}$ ，如果 ${\vec{b}}_{1} \neq \vec{0}$ 且对于任意的正整数 $n$ ，均有 $\overset{⇀}{b_{n + 1}} = q \cdot \overset{⇀}{b_{n}}$ （ $q \neq 0$ ），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数 $q$ 称为“公比”.

(1)、如果“向量列” ${\overset{⇀}{a_{n}}}$ 是“等差向量列”，用 $\overset{⇀}{a_{1}}$ 和“公差向量” $\overset{⇀}{d}$ 表示 $\overset{⇀}{a_{1}} + \overset{⇀}{a_{2}} + \dots + \overset{⇀}{a_{n}}$ ；

(2)、已知 ${\overset{⇀}{a_{n}}}$ 是“等差向量列”，“公差向量” $\overset{⇀}{d} = (\begin{matrix} 3 ， & 0 \end{matrix})$ ， $\overset{⇀}{a_{1}} = (\begin{matrix} 1 ， & 1 \end{matrix})$ ， $\overset{⇀}{a_{n}} = (\begin{matrix} x_{n} ， & y_{n} \end{matrix})$ ； ${\overset{⇀}{b_{n}}}$ 是“等比向量列”，“公比” $q = 2$ ， $\overset{⇀}{b_{1}} = (\begin{matrix} 1 ， & 3 \end{matrix})$ ， $\overset{⇀}{b_{n}} = (\begin{matrix} m_{n} ， & k_{n} \end{matrix})$ .求 $\overset{⇀}{a_{1}} \cdot \overset{⇀}{b_{1}} + \overset{⇀}{a_{2}} \cdot \overset{⇀}{b_{2}} + \dots + \overset{⇀}{a_{n}} \cdot \overset{⇀}{b_{n}}$ ．

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20. 如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”.已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ ，点 $M (m ， n)$ 是椭圆 $C$ 上的任意一点，直线 $l$ 过点 $M$ 且是椭圆 $C$ 的“切线”.

(1)、证明：过椭圆 $C$ 上的点 $M (m ， n)$ 的“切线”方程是 $\frac{m x}{2} + n y = 1$ ；

(2)、设 $A$ ， $B$ 是椭圆 $C$ 长轴上的两个端点，点 $M (m ， n)$ 不在坐标轴上，直线 $M A$ ， $M B$ 分别交 $y$ 轴于点 $P$ ， $Q$ ，过 $M$ 的椭圆 $C$ 的“切线” $l$ 交 $y$ 轴于点 $D$ ，证明：点 $D$ 是线段 $P Q$ 的中点；

(3)、点 $M (m ， n)$ 不在 $x$ 轴上，记椭圆 $C$ 的两个焦点分别为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ，判断过 $M$ 的椭圆 $C$ 的“切线” $l$ 与直线 $M F_{1}$ ， $M F_{2}$ 所成夹角是否相等？并说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + x - a$ （ $a \in R$ ， $x \in R$ ）， $f (x) = a x^{3} + x - a，$ $g (x) = \frac{x}{1 - x^{3}}$ （ $x \in R$ ）.

(1)、如果 $x = \frac{- \sqrt[3]{4}}{2}$ 是关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq 0$ 的解，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、判断 $g (x)$ 在 $(\begin{matrix} - 1 ， & \frac{- \sqrt[3]{4}}{2} \end{matrix}]$ 和 $[\begin{matrix} \frac{- \sqrt[3]{4}}{2} ， & 1 \end{matrix})$ 的单调性，并说明理由；

(3)、证明：函数 $f (x)$ 存在零点q ，使得 $a = q + q^{4} + q^{7} + \dots + q^{3 n - 2} + \dots$ 成立的充要条件是 $a \geq \frac{- \sqrt[3]{4}}{3}$ ．

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