天津市滨海新区七所重点学校2018届高三毕业班联考文数期末考试试卷

试卷更新日期：2018-06-05 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，集合 $A = {1 ， 5}$ ，集合 $B = {2 ， 3 ， 5}$ ，则 $(C_{U} B) \cap^{} A =$ （）

A、 ${2}$ B、 ${2 ， 3}$ C、 ${1}$ D、 ${1 ， 4}$

查看试题解析
2. 实数 $x ， y$ 满足不等式组 ${\begin{matrix} x + y - 2 \geq 0 \\ x - y - 2 \leq 0 \\ y \geq 1 \end{matrix}$ 则目标函数 $z = x + 2 y$ 的最小值是（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

查看试题解析
3. 执行如图所示的程序框图，若输入 $n$ 的值为3，则输出的 $s$ 的值是（）

A、1 B、2 C、4 D、7

查看试题解析
4. 若 $a = {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3}}$ ， $b = {log}_{\frac{1}{3}} 2$ ， $c = {log}_{\frac{1}{2}} 3$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $b < a < c$ B、 $b < c < a$ C、 $a < b < c$ D、 $c < b < a$

查看试题解析
5. 设 $x \in R$ ，则“ $x < 1$ ”是“ $x | x | - 2 < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
6. 函数 $f (x) = sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的最小正周期是 $π$ ，若其图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后得到的函数为奇函数，则函数 $f (x)$ 的图象（）

A、关于点 $(\frac{π}{12} ， 0)$ 对称 B、关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称 C、关于点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 对称 D、关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称

查看试题解析
7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的两条渐近线与抛物线 $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的准线分别交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，若双曲线的离心率为 $2$ ， $△ A B O$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，则抛物线的焦点为（）

A、 $(\frac{1}{2} ， 0)$ B、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， 0)$ C、 $(1 ， 0)$ D、 $(\sqrt{2} ， 0)$

查看试题解析
8. 已知函数 $f (x) = x | x - a | + 2 x$ ，若存在 $a \in (2 ， 3]$ ，使得关于 $x$ 的函数 $y = f (x) - t f (a)$ 有三个不同的零点，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{9}{8} ， \frac{5}{4})$ B、 $(1 ， \frac{25}{24})$ C、 $(1 ， \frac{9}{8})$ D、 $(1 ， \frac{5}{4})$

查看试题解析

二、填空题

9. 已知 $i$ 是虚数单位，则 $\frac{7 + i}{3 + 4 i} =$ ．

查看试题解析
10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．

查看试题解析
11. 等比数列 ${a_{n}}$ 中，各项都是正数，且 $a_{1}$ ， $\frac{1}{2} a_{3}$ ， $2 a_{2}$ 成等差数列，则 $\frac{a_{13} + a_{14}}{a_{14} + a_{15}}$ = ．

查看试题解析
12. 设直线 $y = x + 2 a$ 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 a y - 2 = 0$ $(a > 0)$ 相交于 $A ， B$ 两点，若 $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ，则 $a =$ ．

查看试题解析
13. 已知正实数 $a ， b$ 满足 $2 a > b ，$ 且 $a b = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{4 a^{2} + b^{2} + 1}{2 a - b}$ 的最小值为.

查看试题解析
14. 已知菱形 $A B C D$ 的边长为 $2$ ， $∠ B A D = 120 °$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在边 $B C$ ， $C D$ 上， $\overset{⇀}{B E} = λ \overset{⇀}{B C}$ ， $\overset{⇀}{D F} = μ \overset{⇀}{D C}$ ，若 $2 λ + μ = \frac{5}{2}$ ，则 $\overset{⇀}{A E} \cdot \overset{⇀}{A F}$ 的最小值．

查看试题解析

三、解答题

15. 从高三学生中抽取 $n$ 名学生参加数学竞赛，成绩（单位：分）的分组及各数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知成绩的范围是区间 $[40 ， 100)$ ，且成绩在区间 $[70 ， 90)$ 的学生人数是 $27$ 人.

(1)、求 $x$ ， $n$ 的值；

(2)、若从数学成绩（单位：分）在 $[40 ， 60)$ 的学生中随机选取 $2$ 人进行成绩分析.
①列出所有可能的抽取结果；
②设选取的 $2$ 人中，成绩都在 $[50 ， 60)$ 内为事件 $A$ ，求事件 $A$ 发生的概率.

查看试题解析
16. 锐角 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $4 a sin B = \sqrt{7} b$ .

(1)、若 $a = 6$ ， $b + c = 8$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、求 $sin (2 A + \frac{2 π}{3})$ 的值.

查看试题解析
17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 的边长是 $2$ 的正方形， $P A = P D$ ， $P A ⊥ P D$ ， $F$ 为 $P B$ 上的点，且 $A F ⊥$ 平面 $P B D$ .

(1)、求证： $P D ⊥ A B$ ；

(2)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(3)、求直线 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值.

查看试题解析
18. 已知 $A (0 ， - 2)$ ，椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $F$ 是椭圆 $E$ 的右焦点，直线 $A F$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ， $O$ 为坐标原点.

(1)、求椭圆的方程；

(2)、设过点 $A$ 的动直线 $l$ 与椭圆 $E$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点，当 $Δ O P Q$ 的面积最大时，求直线 $l$ 的方程.

查看试题解析
19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ( $n \in N^{*}$ )，数列 ${b_{n}}$ 满足 $n b_{n + 1} - (n + 1) b_{n} = n (n + 1)$ ( $n \in N^{*}$ )，且 $b_{1} = 1$

(1)、证明数列 ${\frac{b_{n}}{n}}$ 为等差数列，并求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \frac{4 (n + 1)}{(3 + 2 {log}_{2} a_{n}) (3 + 2 {log}_{2} a_{n + 1})}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{2 n}$ ；

(3)、若 $d_{n} = a_{n} \cdot \sqrt{b_{n}}$ ，数列 ${d_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $D_{n}$ ，对任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 $D_{n} \leq n S_{n} - a$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

查看试题解析
20. 已知函数 $f (x) = \frac{1 - x}{a x} + ln x$ （其中 $a > 0$ ， $e \approx 2.7$ ）.

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 点处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[2 ， + \infty)$ 上为增函数，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、求证：对于任意大于 $1$ 的正整数 $n$ ，都有 $ln n > \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n}$ .

查看试题解析