河北衡水2018年普通高等学校招生全国统一考试高三文数模拟考试卷（三）

试卷更新日期：2018-06-05 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | 1 < x \leq 3}$ ， $B = {x | 0 \leq x < 2}$ ，则 $A \cup^{} B =$ （）

A、 ${x | 0 \leq x < 2}$ B、 ${x | 0 \leq x \leq 3}$ C、 ${x | 1 < x < 2}$ D、 ${x | 1 < x \leq 3}$

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2. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} x + 1 ， x \geq 0 \\ \frac{1}{2^{x}} ， x < 0 \end{matrix}$ ，则 $f [f (- 1)] =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\sqrt{2} + 1$ C、1 D、3

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3. 若向量 $\overset{⇀}{a} = (1 ， 0)$ ， $\overset{⇀}{b} = (0 ， 1)$ ， $\overset{⇀}{c} = 2 x \overset{⇀}{a} + y \overset{⇀}{b} = (2 ， 3)$ $(x ， y \in R)$ ，则 $x + y =$ （）

A、4 B、5 C、3 D、2

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4. 若实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x \geq 1 \\ y \geq 1 \\ x + y \leq 3 \end{matrix}$ ，则 $\frac{y}{x}$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{2} ， 2]$ B、 $[\frac{1}{3} ， 2]$ C、 $[- \frac{1}{2} ， 2)$ D、 $[\frac{1}{2} ， 3]$

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5. 命题 $p$ ：若复数 $z = \frac{2 i}{1 - i}$ （ $i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 对应的点在第二象限，命题 $q$ ：若复数 $z$ 满足 $z \cdot \bar{z}$ 为实数，则复数 $z$ 一定为实数，那么（）

A、 $p \land q$ 是真命题 B、 $p \land (\neg q)$ 是真命题 C、 $(\neg p) \lor q$ 是真命题 D、 $p \lor (\neg q)$ 是假命题

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6. 执行如图所示的程序框图，若输入的 $n = 40$ ，则输出的 $S =$ （）

A、80 B、96 C、112 D、120

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7. 已知函数 $f (x) = cos (2 x - \frac{π}{6})$ ，将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $φ (φ > 0)$ 个单位后，得到的图象对应的函数 $g (x)$ 为奇函数，则 $φ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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8. 《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马 $P - A B C D$ 中，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，从 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点中任取三点和顶点 $P$ 所形成的四面体中，任取两个四面体，则其中一个四面体为鳖臑的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{10}$

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9. 如图， $A B$ 为经过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 焦点 $F$ 的弦，点 $A$ ， $B$ 在直线 $x = - \frac{p}{2}$ 上的射影分别为 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ，且 $| A A_{1} | = 3 | B B_{1} |$ ，则直线 $A B$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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10. 一个几何体的三视图如图所示，且该几何体的表面积为 $3 π + 2 + 4 \sqrt{2}$ ，则图中的 $x =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} a_{2} a_{3} \cdot \cdot \cdot a_{n} = 2^{n^{2}} (n \in N^{*})$ ，且对任意的 $n \in N^{*}$ 都有 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n}} < t$ ，则 $t$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{1}{3} ， + \infty)$ B、 $[\frac{1}{3} ， + \infty)$ C、 $(\frac{2}{3} ， + \infty)$ D、 $[\frac{2}{3} ， + \infty)$

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12. 若存在 $x \in [\frac{1}{e} ， e]$ ，不等式 $2 x ln x + x^{2} - m x + 3 \geq 0$ 成立，则实数 $m$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{e} + 3 e - 2$ B、 $2 + e + \frac{3}{e}$ C、4 D、 $e^{2} - 1$

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二、填空题

13. 已知 ${a_{n}}$ 是等差数列， $S_{n}$ 是其数列的前 $n$ 项和，且 $S_{4} = - \frac{10}{3}$ ， $2 a_{1} + a_{2} = 1$ ，则 $a_{3} =$ ．

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14. 已知圆 $C$ 的方程为 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ ，则圆上的点到直线 $x - y = 0$ 的距离的最小值为．

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15. 观察三角形数组，可以推测：该数组第八行的和为．

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16. 已知双曲线 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ ，曲线 $C_{2}$ ： $| y | = | x | + 1$ ， $P$ 是平面内一点，若存在过点 $P$ 的直线与 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 都有公共点，则称点 $P$ 为“差型点”.下面有4个结论：
①曲线 $C_{1}$ 的焦点为“差型点”；
②曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 有公共点；
③直线 $y = k x$ 与曲线 $C_{2}$ 有公共点，则 $| k | > 1$ ；
④原点不是“差型点”.
其中正确结论的个数是．

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三、解答题

17. 已知 $Δ A B C$ 的外接圆半径为 $\sqrt{2}$ ，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b = 2$ .

(1)、若 $2 a cos A = c cos B + b cos C$ ，求角 $C$ ；

(2)、若 $B$ 为锐角， $a + c = 3$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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18. 已知某地区中小学生人数和近视情况如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生作为样本进行调查.

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

(1)、求样本容量和抽取的高中生近视人数分别是多少？

(2)、在抽取的 $n$ 名高中生中，平均每天学习时间超过9小时的人数为 $\frac{3 n}{10}$ ，其中有12名学生近视，请完成高中生平均每天学习时间与近视的列联表：

平均学习时间不超过9小时
平均学习时间超过9小时
总计
不近视

近视

总计

(3)、根据（2）中的列联表，判断是否有 $95 %$ 的把握认为高中生平均每天学习时间与近视有关？

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19. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ， $∠ D B C = \frac{5 π}{6}$ ， $B D = B C = 2$ ， $A B = \sqrt{3} + 2$ ， $E$ 为 $A C$ 的中点， $F$ 在棱 $C D$ 上，且 $B C ⊥ E F$ .

(1)、求证： $B F = C F$ ；

(2)、求三棱锥 $A - B E F$ 的体积.

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20. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线交椭圆于 $A$ ， $B$ 两点.

(1)、若直线 $A B$ 与椭圆的长轴垂直， $| A B | = \frac{1}{2} a$ ，求椭圆的离心率；

(2)、若直线 $A B$ 的斜率为1， $| A B | = \frac{2 a^{3}}{a^{2} + b^{2}}$ ，求椭圆的短轴与长轴的比值.

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21. 已知曲线 $f (x) = \frac{m x - m}{e^{x}}$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线斜率为 $- \frac{1}{e}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的极小值；

(2)、当 $x \in (0 ， π)$ 时，求证： $f (x) + \frac{1}{e^{2}} > x cos x - sin x$ .

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = t c o s α \\ y = t s i n α \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的极坐标方程分别为 $ρ = 4 cos θ$ ， $ρ = 2 sin θ$ .

(1)、将直线 $l$ 的参数方程化为极坐标方程，将 $C_{2}$ 的极坐标方程化为参数方程；

(2)、当 $α = \frac{π}{6}$ 时，直线 $l$ 与 $C_{1}$ 交于 $O$ ， $A$ 两点，与 $C_{2}$ 交于 $O$ ， $B$ 两点，求 $| A B |$ .

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23. 已知函数 $f (x) = | x - a | + | x + \frac{b}{2} + \frac{c}{3} |$ 的最小值为 $7$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 为正数）.

(1)、求 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 的最小值；

(2)、求证： $\frac{a^{4}}{b^{2}} + \frac{b^{4}}{c^{2}} + \frac{c^{4}}{a^{2}} \geq a^{2} + b^{2} + c^{2}$ .

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	平均学习时间不超过9小时	平均学习时间超过9小时	总计
不近视
近视
总计