河北衡水2018年普通高等学校招生全国统一考试高三文数模拟考试卷（二）

试卷更新日期：2018-06-05 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $U$ = ${- 3 ， - 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，集合 $A= {- 1 ， 0 ， 1 ， 3}$ ，集合 $B$ = ${- 3 ， - 2 ， - 1 ， 3}$ ，则 $C_{U} (A \cup B) =$ （）

A、 ${- 3 ， - 2 ， 1}$ B、 ${- 2 ， - 1 ， 1}$ C、 ${2}$ D、 ${- 1 ， 2 ， 3}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = i^{2018}$ （ $i$ 是虚数单位），则复数 $z$ 在复平面内对应的点所在象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}} + ln (2 x + 1)$ 的定义域为（）

A、 $[- \frac{1}{2} ， 2]$ B、 $[- \frac{1}{2} ， 2)$ C、 $(- \frac{1}{2} ， 2]$ D、 $(- \frac{1}{2} ， 2)$

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4. 三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形内的概率为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2 π}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3} π}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2 π}$ D、 $\frac{\sqrt{3} π}{2}$

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5. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线与直线 $4 x + 3 y + 1 = 0$ 垂直，且焦点在圆 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 26$ 上，则该双曲线的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$

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6. 执行如图所示的程序框图，若输入的 $t = 0.05$ ，则输出的 $n$ 为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 3 ， a_{n + 1} = 2 S_{n} + 3$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、 $3^{3}$ B、 $3^{4}$ C、 $3^{5}$ D、 $3^{6}$

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8. 已知将函数 $f (x) = sin (2 ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到函数 $g (x)$ 的图象，若函数 $g (x)$ 图象的两条相邻的对称轴间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，则函数 $g (x)$ 的—个对称中心为（）

A、 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ B、 $(\frac{π}{6} ， 0)$ C、 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ D、 $(\frac{π}{12} ， 0)$

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9. 榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为（）

A、 $8 + 12 π$ B、 $8 + 16 π$ C、 $9 + 12 π$ D、 $9 + 16 π$

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10. 已知实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y \geq 0 ， \\ x + y - 2 \geq 0 ， \\ x \leq 3 ， \end{matrix}$ 当且仅当 $x = y = 1$ 时，目标函数 $z = k x + y$ 取大值，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(- \infty ， - 1)$ C、 $(- 1 ， + \infty)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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11. 已知 $a > 0$ ，命题 $p ：$ 函数 $f (x) = lg (a x^{2} + 2 x + 3)$ 的值域为 $R$ ，命题 $q ：$ 函数 $g (x) = x + \frac{a}{x}$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 内单调递增.若 $\neg p \land q$ 是真命题，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 0]$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{3}]$ C、 $(0 ， \frac{1}{3}]$ D、 $(\frac{1}{3} ， 1]$

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12. 函数 $f (x) = {\begin{matrix} l n x (x > 0) \\ - \sqrt{- x} (x \leq 0) \end{matrix}$ 与 $g (x) = | x + a | + 1$ 的图象上存在关于 $y$ 轴对称的点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $R$ B、 $(- \infty ， - e]$ C、 $[e ， + \infty)$ D、 $\emptyset$

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二、填空题

13. 已知在 $Δ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 边上的点， $2 \overset{⇀}{B D} + \overset{⇀}{C D} = 0$ ，若 $\overset{⇀}{A D} = m \overset{⇀}{A B} + n \overset{⇀}{A C} (m ， n \in R)$ ，则 $n =$ ．

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14. 已知焦点在 $x$ 轴上的椭圆 $\frac{x^{2}}{2 m^{2}} + \frac{y^{2}}{m + 1} = 1$ 的一个焦点在直线 $\sqrt{2} x - y + 2 = 0$ 上，则椭圆的离心率为．

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15. 在锐角 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $sin C cos A = sin B (1 - cos C)$ ，且 $A = \frac{π}{3} ， b = \sqrt{3}$ ，则 $c =$ ．

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16. 如图，已知矩形 $A B C D$ ， $A D = 2$ $， E$ 为 $A B$ 边上的点，现将 $Δ A D E$ 沿 $D E$ 翻折至 $Δ A^{'} D E$ ，使得点 $A^{'}$ 在平面 $E B C D$ 上的投影在 $C D$ 上，且直线 $A^{'} D$ 与平面 $E B C D$ 所成角为30°，则线段 $A E$ 的长为．

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 5 ， 3 a_{5} + a_{9} = S_{6}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n + 1} = a_{n + 1} a_{n}$ ，且 $b_{1} = a_{6}$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ，点 $E$ 是 $P D$ 的中点，棱 $P A$ 与平面 $B C E$ 交于点 $F$ .

(1)、求证： $A D / / E F$ ；

(2)、若 $Δ P A B$ 是正三角形，求三棱锥 $P - B E F$ 的体积.

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19. 某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在 $[1000 ， 1500)$ .

(1)、求居民收入在 $[2500 ， 3000)$ 的频率；

(2)、根据频率分布直方图算出样本数据的中位数、平均数及其众数；

(3)、为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则应月收入为 $[2500 ， 3000)$ 的人中抽取多少人？

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20. 已知点 $F$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，过 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $A ， B$ 两点.

(1)、若直线 $l$ 的斜率为1， $| A B | = 8$ ，求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若抛物线 $C$ 的准线与 $x$ 轴交于点 $P (- 1 ， 0)$ ， $S_{Δ A P F} ： S_{Δ B P F} = (2 - \sqrt{3}) ： 1$ ，求 $\overset{⇀}{P A} \cdot \overset{⇀}{P B}$ 的值.

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21. 已知函数 $f (x) = ln x + x^{2} + a x ， a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 是函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的两个零点，当 $a \in (- \infty ， - 3)$ 时，求证： $f (x_{1}) - f (x_{2}) > \frac{3}{4} - ln 2$ .

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 t - 1 \\ y = - 4 t + 3 \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \sqrt{2} cos (\frac{π}{4} - θ)$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程与 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、判断曲线 $C_{1} ， C_{2}$ 是否相交，若相交，求出相交弦长.

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23. 已知函数 f(x)=|2x−1|-|x+2| .

(1)、求不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、若对任意的 $x \in [m ， + \infty)$ ，都有 $f (x) \leq x - m$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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