河北省衡水2018届高三毕业班金卷文数一模试卷

试卷更新日期：2018-06-05 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | y = lg (x + 2)}$ ， $N = {y | y = 2^{x} - 1}$ ，则 $M \cup^{} N =$ （）

A、 $R$ B、 $(- 1 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， + \infty)$ D、 $[- 2 ， + \infty)$

查看试题解析
2. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z = \frac{i^{3}}{2 - i}$ ，则 $z$ 的实部与虚数之差为（）

A、 $- \frac{1}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

查看试题解析
3. 已知圆锥曲线 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{cos θ} = 1 (0 < θ < π)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则 $θ =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

查看试题解析
4. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} a_{3} a_{4} = 1$ ， $a_{6} a_{7} a_{8} = 64$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、 $\pm 2$ B、-2 C、2 D、4

查看试题解析
5. 已知命题 $p$ ：“ $\exists x_{0} \in R ， \frac{1}{x_{0} - 1} < 0$ ”的否定是“ $\forall x \in R ， \frac{1}{x - 1} \geq 0$ ”；命题 $q$ ：“ $x > 2019$ ”的一个必要不充分条件是“ $x > 2018$ ”，则下列命题为真命题的是（）

A、 $\neg q$ B、 $p \land q$ C、 $(\neg p) \land q$ D、 $p \lor (\neg q)$

查看试题解析
6. 我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，上广二丈，袤三丈，下广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛（如图所示），上底宽2丈，长3丈；下底宽3丈，长4丈；高3丈.问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，再次相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为（）

A、13.25立方丈 B、26.5立方丈 C、53立方丈 D、106立方丈

查看试题解析
7. 如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据，若从7月至12月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，则这2个月中至少有一个月利润（利润=收入-支出）不低于40万的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

查看试题解析
8. 执行上面的程序框图，若输出的 $S$ 值为-2，则①中应填（）

A、 $n < 98 ?$ B、 $n < 99 ?$ C、 $n < 100 ?$ D、 $n < 101 ?$

查看试题解析
9. 已知一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（）

A、 $2 (1 + \sqrt{5}) π + 16$ B、 $2 (1 + \sqrt{5}) π + 24$ C、 $2 \sqrt{5} π + 16$ D、 $\frac{8 π + 16}{3}$

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x) = - 2 cos ω x (ω > 0)$ 的图象向左平移 $φ (0 < φ < \frac{π}{2})$ 个单位，所得的部分函数图象如图所示，则 $φ$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{π}{12}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

查看试题解析
11. 已知 $Δ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $a cos B + \sqrt{3} a sin B = b + c$ ， $b = 1$ ，点 $D$ 是 $Δ A B C$ 的重心，且 $A D = \frac{\sqrt{7}}{3}$ ，则 $Δ A B C$ 的外接圆的半径为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析
12. 若函数 $y = f (x)$ 满足：① $f (x)$ 的图象是中心对称图形；②若 $x \in D$ 时， $f (x)$ 图象上的点到其对称中心的距离不超过一个正数 $M$ ，则称 $f (x)$ 是区间 $D$ 上的“ $M$ 对称函数”.若函数 $f (x) = {(x + 1)}^{3} + m (m > 0)$ 是区间 $[- 4 ， 2]$ 上的“ $M$ 对称函数”，则实数 $M$ 的取值范围是（）

A、 $[3 \sqrt{82} ， + \infty)$ B、 $[\sqrt{82} ， + \infty)$ C、 $(0 ， 3 \sqrt{82}]$ D、 $(3 \sqrt{82} ， + \infty)$

查看试题解析

二、填空题

13. 已知 $tan (α - π) = - \frac{4}{3}$ ，则 $\frac{{sin}^{2} α - 2 {cos}^{2} α}{sin 2 α} =$ ．

查看试题解析
14. 若幂函数 $f (x) = 3 a x^{a + \frac{1}{6}}$ 的图象上存在点 $P$ ，其坐标 $(x ， y)$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} y - x \leq 2 ， \\ x + y \leq 6 ， \\ y \geq m ， \end{matrix}$ 则实数 $m$ 的最大值为．

查看试题解析
15. 已知在直角梯形 $A B C D$ 中， $A B = A D = 2 C D = 2$ ， $∠ A D C = 90 °$ ，若点 $M$ 在线段 $A C$ 上，则 $| \overset{⇀}{M B} + \overset{⇀}{M D} |$ 的取值范围为．

查看试题解析
16. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 8 y$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l_{1}$ ，直线 $l_{2}$ 与抛物线 $C$ 相切于点 $P$ ，记点 $P$ 到直线 $l_{1}$ 的距离为 $d_{1}$ ，点 $F$ 到直线 $l_{2}$ 的距离为 $d_{2}$ ，则 $\frac{d_{2}}{d_{1} + 2}$ 的最大值为．

查看试题解析

三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2$ ， $\frac{S_{n}}{n + 1} = \frac{a_{n}}{2}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{16 (a_{n} + 1)}{a_{n}^{2} a_{n + 1}^{2}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

查看试题解析
18. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 2$ ，点 $E$ 是线段 $C D$ 上靠近点 $D$ 的一个三等分点，点 $F$ 是线段 $A D$ 上的一个动点，且 $D F = λ D A (0 \leq λ \leq 1)$ .如图，将 $Δ B C E$ 沿 $B E$ 折起至 $Δ B E G$ ，使得平面 $B E G ⊥$ 平面 $A B E D$ .

(1)、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，求证： $E F ⊥ B G$ ；

(2)、是否存在 $λ$ ，使得三棱锥 $D - E F G$ 与三棱锥 $B - E F G$ 的体积之比为 $1 ： 4$ ？若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由.

查看试题解析
19. 某公司在某条商业街分别开有两家业务上有关联的零售商店，这两家商店的日纯利润变化情况如下表所示：
附：线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中， $\hat{b} = = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} x$ .
参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 0.691$ ， $\sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 0.5$ .

(1)、从这几天的日纯利润来看，哪一家商店的日平均纯利润多些？

(2)、由表中数据可以认为这两家商店的日纯利润之间有较强的线性相关关系.
（ⅰ）试求 $y$ 与 $x$ 之间的线性回归方程；
（ⅱ）预测当 $B$ 店日纯利润不低于2万元时， $A$ 店日纯利润的大致范围（精确到小数点后两位）；

(3)、根据上述5日内的日纯利润变化情况来看，哪家商店经营状况更好？

查看试题解析
20. 已知圆 $C$ 的圆心为原点，其半径与椭圆 $D ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左焦点和上顶点的连线线段长度相等.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过椭圆右焦点的动直线 $l_{2}$ （其斜率不为0）交圆 $C$ 于 $A ， B$ 两点，试探究在 $x$ 轴正半轴上是否存在定点 $E$ ，使得直线 $A E$ 与 $B E$ 的斜率之和为0？若存在，求出点 $E$ 的坐标，若不存在，请说明理由.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = a x^{2} e^{x}$ （ $a \in R$ ， $e$ 为自然对数的底数）.

(1)、当 $a \neq 0$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) + x e^{x} + 1 \geq e^{x}$ 在区间 $(- \infty ， 0]$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

查看试题解析
22. 以平面直角坐标系的原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，已知直线 $l$ 的极坐标方程是 $ρ sin (θ - \frac{π}{3}) = 1$ ，圆 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + r c o s φ ， \\ y = r s i n φ \end{matrix}$ （ $φ$ 为参数， $r > 0$ ）.

(1)、若直线 $l$ 与圆 $C$ 有公共点，求实数 $r$ 的取值范围；

(2)、当 $r = 2$ 时，过点 $D (2 ， 0)$ 且与直线 $l$ 平行的直线 $l^{'}$ 交圆 $C$ 于 $A ， B$ 两点，求 $| \frac{1}{| D A |} - \frac{1}{| D B |} |$ 的值.

查看试题解析
23. 已知函数 $f (x) = | 2 x + 1 | + | x - 1 |$ .

(1)、解不等式 $f (x) \leq 3$ ；

(2)、若函数 $g (x) = | 2 x - 2018 - a | + | 2 x - 2019 |$ ，若对于任意的 $x_{1} \in R$ ，都存在 $x_{2} \in R$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

查看试题解析