河北省衡水2018届高三毕业班金卷理数一模试卷

试卷更新日期：2018-06-05 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ， $N = {y | y = 3 - cos x}$ ，则 $M \cap^{} N =$ （）

A、 $[2 ， 3]$ B、 $[1 ， 2]$ C、 $[2 ， 3)$ D、 $\emptyset$

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2. 已知 $x \in R$ ， $i$ 为虚数单位，若复数 $z = x^{2} + 4 i^{2} + (x + 2) i$ 为纯虚数，则 $x$ 的值为（）

A、 $\pm 2$ B、2 C、-2 D、0

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3. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} a_{3} a_{4} = 1$ ， $a_{6} a_{7} a_{8} = 64$ ，则 $a_{4} a_{5} a_{6} =$ （）

A、 $\pm 8$ B、-8 C、8 D、16

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4. 如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据.若从这12个月份中任意选3个月的数据进行分析，则这3个月中至少有一个月利润（利润=收入-支出）不低于40万的概率为（）

A、 $\frac{1}{220}$ B、 $\frac{119}{220}$ C、 $\frac{21}{55}$ D、 $\frac{34}{55}$

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5. 我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，上广二丈，袤三丈，下广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛（如图所示），上底宽2丈，长3丈；下底宽3丈，长4丈；高3丈.问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，再次相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为（）

A、13.25立方丈 B、26.5立方丈 C、53立方丈 D、106立方丈

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6. 已知偶函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，且 $a = {log}_{5} 2$ ， $b = ln 2$ ， $c = - 2^{0.1}$ ，则 $f (a) ， f (b) ， f (c)$ 满足（）

A、 $f (b) < f (a) < f (c)$ B、 $f (c) < f (a) < f (b)$ C、 $f (c) < f (b) < f (a)$ D、 $f (a) < f (b) < f (c)$

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7. 某几何体的正视图与侧视图如图所示，则它的俯视图不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 若运行如图所示的程序框图，输出的 $n$ 的值为127，则输入的正整数 $n$ 的所有可能取值的个数为（）

A、8 B、3 C、2 D、1

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9. 已知点 $E ， F$ 分别在正方形 $A B C D$ 的边 $B C ， C D$ 上运动，且 $\overset{⇀}{A B} = (\sqrt{2} ， \sqrt{2})$ ，设 $| C E | = x$ ， $| C F | = y$ ，若 $| \overset{⇀}{A F} - \overset{⇀}{A E} | = | \overset{⇀}{A B} |$ ，则 $x + y$ 的最大值为（）

A、2 B、4 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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10. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin ω x - 2 {cos}^{2} \frac{ω x}{2} + 1 (ω > 0)$ ，将 $f (x)$ 的图象向右平移 $φ (0 < φ < \frac{π}{2})$ 个单位，所得函数 $g (x)$ 的部分图象如图所示，则 $φ$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{8}$ D、 $\frac{π}{3}$

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11. 若函数 $y = f (x)$ 满足：① $f (x)$ 的图象是中心对称图形；②若 $x \in D$ 时， $f (x)$ 图象上的点到其对称中心的距离不超过一个正数 $M$ ，则称 $f (x)$ 是区间 $D$ 上的“ $M$ 对称函数”.若函数 $f (x) = {(x + 1)}^{3} + m (m > 0)$ 是区间 $[- 4 ， 2]$ 上的“ $3 m$ 对称函数”，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[\sqrt{82} ， + \infty)$ B、 $[3 \sqrt{82} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， \sqrt{82}]$ D、 $(\sqrt{82} ， + \infty)$

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12. 已知双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，点 $P$ 是双曲线 $C$ 上的任意一点，过点 $P$ 作双曲线 $C$ 的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于 $A ， B$ 两点，若四边形 $P A O B$ （ $O$ 为坐标原点）的面积为 $\sqrt{2}$ ，且 $\overset{⇀}{P F_{1}} \cdot \overset{⇀}{P F_{2}} > 0$ ，则点 $P$ 的横坐标的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - \frac{\sqrt{17}}{3}) \cup^{} (\frac{\sqrt{17}}{3} ， + \infty)$ B、 $(- \frac{\sqrt{17}}{3} ， \frac{\sqrt{17}}{3})$ C、 $(- \infty ， - \frac{2 \sqrt{17}}{3}) \cup^{} (\frac{2 \sqrt{17}}{3} ， + \infty)$ D、 $(- \frac{2 \sqrt{17}}{3} ， \frac{2 \sqrt{17}}{3})$

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二、填空题

13. 已知 $tan α = 2$ ，则 $\frac{{sin}^{2} 2 α - 2 {cos}^{2} 2 α}{sin 4 α} =$ ．

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14. 已知抛物线 $C ： y = a x^{2}$ 的焦点坐标为 $(0 ， 1)$ ，则抛物线 $C$ 与直线 $y = x$ 所围成的封闭图形的面积为．

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15. 已知实数 $x ， y$ 满足不等式组 ${\begin{matrix} y \geq - 1 ， \\ 4 x + y - 4 \leq 0 ， \\ 2 x - y - 1 \geq 0 ， \end{matrix}$ 则目标函数 $z = 4 x^{2} + y^{2}$ 的最大值与最小值之和为．

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16. 在 $Δ A B C$ 中， $D$ 为 $A B$ 的中点， $∠ A C D$ 与 $∠ C B D$ 互为余角， $A D = 2$ ， $A C = 3$ ，则 $sin A$ 的值为．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 恰好与 ${(1 - \frac{\sqrt{2}}{x})}^{n + 1}$ 的展开式中含 $x^{- 2}$ 项的系数相等.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = {(- 1)}^{n} \cdot \frac{a_{n} + 1}{S_{n}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{2 n}$ .

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18. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 2$ ，点 $E$ 是线段 $C D$ 上靠近点 $D$ 的一个三等分点，点 $F$ 是线段 $A D$ 上的一个动点，且 $\overset{⇀}{D F} = λ \overset{⇀}{D A} (0 \leq λ \leq 1)$ .如图，将 $Δ B C E$ 沿 $B E$ 折起至 $Δ B E G$ ，使得平面 $B E G ⊥$ 平面 $A B E D$ .

(1)、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，求证： $E F ⊥ B G$ ；

(2)、是否存在 $λ$ ，使得 $F G$ 与平面 $D E G$ 所成的角的正弦值为 $\frac{1}{3}$ ？若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由.

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19. 春节过后，某市教育局从全市高中生中抽去了100人，调查了他们的压岁钱收入情况，按照金额（单位：百元）分成了以下几组： $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ .统计结果如下表所示：
该市高中生压岁钱收入 $Z$ 可以认为服从正态分布 $N (μ ， {14.4}^{2})$ ，用样本平均数 $\bar{x}$ （每组数据取区间的中点值）作为 $μ$ 的估计值.

(1)、求样本平均数 $\bar{x}$ ；

(2)、求 $P (54.1 < Z < 97.3)$ ；

(3)、某文化公司赞助了市教育局的这次社会调查活动，并针对该市的高中生制定了赠送“读书卡”的活动，赠送方式为：压岁钱低于 $μ$ 的获赠两次读书卡，压岁钱不低于 $μ$ 的获赠一次读书卡.已知每次赠送的读书卡张数及对应的概率如下表所示：
现从该市高中生中随机抽取一人，记 $Y$ （单位：张）为该名高中生获赠的读书卡的张数，求 $Y$ 的分布列及数学期望.
参考数据：若 $Z \sim N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < Z < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < Z < μ + 2 σ) = 0.9544$ .

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点为点 $D$ ，右焦点为 $F_{2} (1 ， 0)$ .延长 $D F_{2}$ 交椭圆 $C$ 于点 $E$ ，且满足 $| D F_{2} | = 3 | F_{2} E |$ .

(1)、试求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $F_{2}$ 作与 $x$ 轴不重合的直线 $l$ 和椭圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，设椭圆 $C$ 的左顶点为点 $H$ ，且直线 $H A ， H B$ 分别与直线 $x = 3$ 交于 $M ， N$ 两点，记直线 $F_{2} M ， F_{2} N$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，则 $k_{1}$ 与 $k_{2}$ 之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，试说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = ln x - m x + 2 (m \in R)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 恰有一个零点，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、设关于 $x$ 的方程 $f (x) = 2$ 的两个不等实根 $x_{1} ， x_{2}$ ，求证： $\sqrt{x_{1} x_{2}} > e$ （其中 $e$ 为自然对数的底数）.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + r c o s θ ， \\ y = r s i n θ \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数， $r > 0$ ）.以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程是 $ρ sin (θ - \frac{π}{3}) = 1$ .

(1)、若直线 $l$ 与圆 $C$ 有公共点，试求实数 $r$ 的取值范围；

(2)、当 $r = 2$ 时，过点 $D (2 ， 0)$ 且与直线 $l$ 平行的直线 $l^{'}$ 交圆 $C$ 于 $A ， B$ 两点，求 $| \frac{1}{| D A |} - \frac{1}{| D B |} |$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x + 1 | + | x - 1 |$ .

(1)、解不等式 $f (x) \leq 3$ ；

(2)、若函数 $g (x) = | 2 x - 2018 - a | + | 2 x - 2019 |$ ，若对于任意的 $x_{1} \in R$ ，都存在 $x_{2} \in R$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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